Turunan Dalam Ruang Dimensi

Rabu, 07 Oktober 2015

Turunan Dalam Ruang Dimensi –n

05.47 | Diposting oleh Rika Melyanti | Edit Entri

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI –n

1. Turunan Parsial

Turunan parsial f_x (x,y) di (x₀,y₀) dapat dijelaskan sebagai kemiringan dari garis singgung pada lengkung di (x₀,y₀) atau turunan fungsi (x,y) terhadap variabel x. Jika pada perkuliahan Kalkulus I, kita membahas turunan suatu fungsi yang menggunakan satu variabel, maka pada Kalkulus lanjutan ini kita akan bahas turunan fungsi yang mengandung dua variabel atau lebih.

Untuk menurunkan fungsi yang dimaksud, tidak dapat lagi menggunakan cara biasa, melainkan kita harus turunkan sebagian-sebagian atau di partisi, walaupun aturan baku turunan masih tetap dipakai.

Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial.

Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variable x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai:

Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð).

Contoh 1

Jika Z = 8 + x² – y². Tentukan f_y (x,y) di titik x = 2 dan y = 5 !

Penyelesaian :

Dengan memberlakukan x sebagai konstan dalam fungsi Z = f(x,y) = 8 + x² – y², maka kita dapat turunkan fungsi Z terhadap variabel y, seperti berikut ;

f_y (x,y) = -2y

f_y (2,5) = -2 . 5 = -10

Contoh 2

Jika f (x,y) = x³y + 3y². Tentukan f_x (2,3) dan f_y (2,3) !

Penyelesaian :

f_x (x,y) kita anggap y sebagai konstanta dan mendiferensialkan fungsi f (x,y) terhadap x.

f_x (x,y) = 3x²y + 0

f_x (2,3) = 3 . 2² . 3

= 3 . 4 . 3 = 36

f_x (x,y) kita anggap x sebagai konstantadan mendiferensialkan fungsi f (x,y) terhadap y.

f_y (x,y) = x³ + 6y

f_y (2,3) = 2³ + 6 . 3

= 8 + 18 = 26

Contoh 3

Carilah f_x (1,2) dan f_y (1,2) jika f (x,y) = x²y + 3y³!

Penyelesaian :

f_x (x,y) kita anggap y sebagai konstanta dan mendiferensialkan fungsi f (x,y) terhadap x didapat ;

f_x (x,y) = 2xy + 0

f_x (1,2) = 2 . 1 . 2
= 4

Demikian pula,

f_y (x,y) = x² + 9y²

f_y (1,2) = 1² + 9 . 2²

= 1 + 36 = 37

Notasi-notasi lain yang digunakan dalam turunan parsial jika Z = f(x,y) sebagai berikut :

2. Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Untuk fungsi turunan parsial dua variabel f(x,y) sebenarnya merupakan fungsi lain dari dua peubah yang sama, turunan tersebut menurut Varberg dan Purcell (Terjemahan Susila tahun 2010) dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f, seperti berikut :

Contoh 1

Tentukan semua turunan parsial tingkat dua fungsi f yang dirumuskan dengan

f(x, y) = 3x⁴y²+ xy² + 4y

Penyelesaian :

Turunan parsial tingkat tiga atau lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, turunan parsial ketiga f yang diperoleh dengan menurunkan f secara parsial.

Jika fungsi f(x, y) diturunkan secara parsial terhadap x atau y maka kita akan memperoleh delapan buah turunan parsial ketiga dari fungsi f,seperti berikut ini :

Kalau dilihat dari cara penulisan turunan parsial baik turunan tingkat dua maupun tingkat tiga, ada perbedaan urutan penggunaan lambang ∂ dan f, yaitu kalau pada penggunaan lambang ∂ pengerjaan penurunan dimulai dari urutan variabel yang paling kanan, sedangkan pada penggunaan lambang f urutan pengerjaan penurunan dimulai dari urutan variabel yang paling kiri atau yang terdekat dengan f.

Seperti salah satu penurunan tingkat tiga dari fungsi f(x, y) berikut, pertama kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukan oleh :